Einige einleitende Bemerkungen zum Thema „Notation im Mittelalter“

Was wir als elementare Eigenschaften der Standard-Notation kennenlernen, basiert auf der Annahme, dass sich Kontinuen in Folgen diskreter Einheiten verwandeln lassen. Damit sind die Elemente eines zweidimensionalen Koordinatensystems gegeben. Diesem Ansatz zufolge sind die Töne die kleinstmöglichen diskreten Einheiten. Die beiden Achsen werden vom Tonhöhen- bzw. Tonverlaufssystem belegt, wodurch sich typische Unterschiede in der konventionellen Beurteilung von Tönen ergeben. Die Unterschiede auf der y-Achse gelten als Unterschiede einer Tonhöhe, wobei Töne mit grösserer Frequenzzahl als „höher“, solche mit geringerer als „tiefer“ aufgefasst werden. Die Unterschiede der Töne auf der x-Achse werden als Unterschiede ihrer Dauer oder Länge verstanden.

Tonhöhen- und Tonverlaufssystem haben seit dem 14. Jahrhundert die gleiche Struktur, soweit es um in Taktordnung verlaufende Musik geht. Es handelt sich um die in der Mathematik als “Gruppe” bekannte Struktur. Ihre Eigenschaften sind folgende: wird für den Fall der Tonhöhenorganisation die Oktave als Intervall der Strecke a-b verstanden, auf der irgendwo ein Punkt z liegt, dann gilt, dass jedes a-z – jedes Intervall innerhalb der Oktave – ein Komplement (ein Inverses) hat. Wir kennen dergleichen aus der elementaren Musiklehre: das Komplement zur Terz ist die Sexte, zur Quinte die Quarte etc. Die Prim ist ein spezielles Intervall, weil ihre Addition zu einem anderen Intervall dieses nicht verändert. Die Prim ist demnach das neutrale Element. Gruppenoperation ist die Intervallverknüpfung.

Das Gleiche gilt für das Tonverlaufssystem. Die Strecke a-b sei ein Takt. Dann hat jedes Zeitintervall a-z die Eigenschaft, dass ein Komplement z-b existiert; Gruppenoperation ist die Tonlängenverknüpfung; neutrales Element ist das Nullelement.Anm.0

 Gruppe

Der Hinweis auf den Gruppencharakter besagt natürlich nicht, dass man im 14. Jahrhundert eine Art Gruppentheorie gehabt hat. Gruppen lassen sich oft dort beobachten, wo es um Symmetrien geht und man dürfte im 14. Jahrhundert die Symmetrie zwischen den beiden Systemen sehr wohl gesehen haben.

Beide Systeme sind nicht naturgegebenen Systeme, sondern durch Konventionen ausgebildete Fügungen mit dem Ziel, das Tonmaterial – auch das ein konventioneller Ausdruck - auf die Komponenten “Tonhöhe” und “Tonlänge” zu abstrahieren. Es sei hier in Form einer Skizze erläutert, welche Denkbewegungen dabei wirksam werden.

Musik als Reflexionsform

[Die folgenden Abschnitte überlappen sich stofflich mit dem Drehbuch.]

In meinem Sprachgebrauch setze ich recht konsequent für das, was wir heute “Musik” nennen, den Begriff “Klangorganisation”. Ich verstehe unter diesem harmlosen Ausdruck alle Klangfügungen, die Menschen konzipieren. Einen Neologismus einzuführen rechtfertigt sich darum, weil “Musik” erst seit etwa dem 18. Jahrhundert so etwas wie Klangorganisationen als Gegenstand unserer Sinneswahrnehmung meint. Während rund 2000 Jahren, etwa zwischen Aristoteles und Leibniz, war “Musik” der Name einer Reflexionsform. Man zeigte durch den Gebrauch des griechisch-stämmigen Substantivs an, dass man in der Tradition des Judentums, des Christentums und des arabischen Islams über Klangorganisationen aus einer bestimmten, griechischen Optik urteilt.

Hauptbestandteil der Reflexionsform ist die Auffassung, dass “Musik” definiert wird als Versucht, die Beziehung (relatio) zwischen “Ton” (sonus) und “Zahl” (numerus) zu untersuchen.Anm.1 Damit ist ein sehr kompliziertes Konstrukt angesprochen; denn “Ton” wird als physikalischer, “Zahl” als mathematischer Terminus verstanden. Was wir mit unseren Sinnen wahrnehmen, ist der Bereich der Physik - Töne, Steine, Pflanzen, Hölzer gehören so gesehen zusammen. Der Oberbegriff einer solchen Physik ist “Bewegung” oder “Prozess” (motus) und zielt auf die Eigenschaft aller Dinge, denen ein Entstehen (generatio) und ein Vergehen (corruptio) zugeordnet werden kann, dass sie “in Bewegung”, also veränderbar sind. Dem gegenüber ist der Bereich des Statischen. Ein Haus mit einer Giebelhöhe von 17 Metern ist ein physikalisches Objekt. Es wird irgendwann vergehen; seine Materie ist in dauernder Bewegung (Veränderung). Von dieser Veränderbarkeit ist aber die Zahl “17” nicht betroffen; sie existierte vor dem Bau dieses Hauses und wird auch nach der Zerstörung des Hauses existieren. Was man “Musik” nennt auf den Prozess zwischen Veränderung (sonus) und Unveränderlichem (numerus) festzulegen, macht aus Klangorganisationen Objekte mit einer höchst komplizierten Verfassung.

Die Abstraktion der Zahl

Die physikalischen Schriften von Aristoteles werden im Mittelalter erst im 12. Jahrhundert bekannt; die erste Verarbeitung dieser Quellen im Sinne einer Rezeption nimmt das 13. und das 14. Jahrhundert in Anspruch.

Primäre Kenntnis vom Gegensatzpaar Mathematik – Physik hat man aber schon längst vorher dank der De trinitate genannten Schrift von Boethius, die gerade im 12. und 13. Jahrhundert ausgiebig kommentiert wurde – etwa von Pierre de la Porrée (Petrus von Poitiers), Clarembald von Arras und Thomas Aquinas Boethius unterscheidet darin Physik, Mathematik und Metaphysik, und zwar in folgendem Sinne: die Physik betrachtet Form in der Materie (also etwa Zahl in irgendeinem materiellen Substrat), während die Mathematik sich auf das Gleiche bezieht, aber den Formalaspekt aus der Materie abstrahiert. Die Metaphysik (bei Boethius Theologie genannt) schliesslich untersucht Form an sich. Als Diagramm gezeichnet ergibt sich:Anm.2

 

Abstraktion 

Der Neoplatoniker Boethius folgt in seiner Analyse der musica natürlich dem mathematischen Pfad. Seine Institutio musica, ein schwieriger Text, wird dann das massgebende Lehrbuch der Musiktheorie für das Mittelalter.Anm.3 Die Tendenz dieses Textes ist für das Mittelalter lange einfach darum massgebend wird, weil die physikalischen Schriften von Aristoteles, dank derer dann die Analyse physikalischer Objekte, damit auch des Tons erlernt wird, erst im 12. Jahrhundert übersetzt und im 13. Jahrhundert rezipiert wird.Anm.4

Was heisst das nun, es würde der mathematische Pfad befolgt? Wer sich an einige Elemente einer allgemeinen Musiklehre erinnert, kann sich das leicht klarmachen. Wir alle haben gelernt, dass sich Intervalle durch Proportionen auf einer Seite vorführen lassen. Eine Oktave erzeugt man durch Halbierung (1/2), eine Quinte durch Drittelung (2/3) und eine Quarte durch Viertelung (3/4). Intervallverbindungen ergeben sich aus Multiplikation (Addition der Intervalle) und Division (Subtraktion der Intervalle); zum Beispiel erhält man durch die Subtraktion der Quarte von der Quinte einen Ganzton (2/3: 3/4 = 2/3 * 4/3 = 8/9); eine Oktave minus eine Quarte gibt eine Quinte (1/2 * 4/3 = 2/3). Oder: Wir lernen Eigenheiten des Quintenzirkels und erfahren, dass sich das pythagoräische Komma errechnet als Wert, der durch die Stapelung von zwölf Quinten beinahe dem Wert von sieben aufeinander gestellten Oktaven entspricht; den gleichen Wert erhält man durch die Subtraktion einer Oktave von sechs Ganztönen oder durch die Subtraktion des kleineren Halbtons (Leimma) vom grösseren (Apotome).Anm.5

In all diesen Fällen operieren wir mit Einzeltönen, weil wir Proportionen (Saitenteilungen) anwenden. Man beachte, dass dies ohne Klärung der philosophischen Frage geschieht, wie eine kontinuierliche Grösse, der Ton, quantifiziert wird. Diese Problemstellung wird weit später zum Thema.

Abstraktion mit Hilfe der Grammatik

Die durch die Anwendung des mathematischen Aspekts erreichte Abstraktion ist eine der Möglichkeiten, um sich die analytische Erarbeitung des Einzeltons zu erklären. Eine andere ist die Beziehung zwischen Musik und Grammatik. Für die Folgezeit massgeblich wird sie in der Musica enchiriadis (Mitte des 9. Jh.) ausgedrückt.

Sinngemäss heisst es dortAnm.6:

So wie die elementarischen und unteilbaren Bestandteile der Sprechstimme die Buchstaben sind, aus denen sich die Silben zusammensetzen, die ihrerseits die Wörter und Namen bilden und diese das Gewebe [textus] einer vollständigen Rede, so sind der Ausgangspunkt der Gesangsstimme die phthongi [Töne], die lateinisch soni heißen; und der Inhalt der gesamten Musiklehre mündet letztlich in deren Erklärung. Aus der Verbindung der soni entstehen die diastemata [Intervalle] und weiterhin aus den Intervallen die systemata [Systeme]. Die soni sind in der Tat die ersten Grundlagen des Gesangs.

Es geht demnach um eine Analogiebildung: so, wie im Falle der Rede das Ganze sich aus Einzelteilen zusammensetzt, setzt sich ein Gesang aus Tönen zusammen.

Eine andere Ausrichtung der Konventionsbildung hat ebenfalls mit der Grammatik zu tun. Bekanntlich hat auch die Rede von „hoch“ und „tief “ oder von „lang“ und „kurz“ nichts mit einer naturgegebenen Ordnung zu tun, sondern entsteht durch die Über-Tragung (meta-phora: Meta-pher) der sprachlichen Fassung von Sensationen beim Tasten („spitz“, „stumpf “) auf solche des Hörens. Dabei entsteht bei spätantiken Grammatikern die Vorstellung, dass „hoch“ („spitz“: acutus) und „tief “ („stumpf “: gravis) graphisch als „oben“ und „unten“ auf dem Beschreibstoff zu visualisieren ist.Anm.7

Zusammenfassung

Jede Notation abstrahiert vom Klangbild, und zwar vom real tönenden, das sie zu erfassen sucht wie vom intendierten. Als Gründe für die Abstraktion, die für die Ausbildung der Standard-Notation wegleitend ist, wurden hier genannt:

– „Musik“ ist eine Reflexionsform, die in Bezug auf Klangorganisationen den Aspekt der Relation zwischen „Ton“ und „Zahl“, damit zwischen einem physikalischen und einem mathematischen Aspekt, untersucht. – Gilt für die Anlage der Problemstellung die ungemein einflussreiche Schrift De trinitate von Boethius als massegebend, dann findet sich dort eine „Formenlehre“, welche die Unterscheidung eines mathematischen und eines physikalischen Aspekts praktikabel macht.

– Die Applikation des mathematischen Aspekts in Form der Applikation von Proportionen auf Saiten erzeugt stets Einzeltöne.

– Ebenfalls Einzeltöne ergeben sich aus der auf den Timaios-Kommentar von Calcidius zurückreichenden Analogie zwischen der Rede und deren elementaren Bestandteilen einerseits und einem Gesang mit dem Ton als dessen elementarem Bestandteil.

– Zu den Konventionen, auf denen die Standard-Notation beruht, gehört schliesslich auch die Übertragung vom Tastsinn („spitz“, „stumpf “) auf den Gehörsinn („hoch“, „tief “) sowie die Übertragung des Gegensatzes auf ein „oben“ und „unten“ auf dem Beschreibstoff. Diese Visualisierung zeitigt einen gewissen Abbildcharakter.

 

Anm. 0: Auf das Phänomen der Gruppenstruktur wurde ich aufmerksam durch Benedikt Reinert, “Das Problem des pythagoräischen Kommas in der arabischen Musiktheorie”, Asiatische Studien XXXIII.2 (1979), 199–217, der das Problem mit dem Mathematiker Bartel Leendert van der Waerden diskutierte. Dass entsprechende Ansätze längst entwickelt waren, kapierte ich damals nicht. Man lese etwa Andreas Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung mit Anwendungen auf algebraische Zahlen und Gleichungen sowie auf die Kristallographie, Basel etc. 51980, und/oder Guerino Mazzola, Gruppen und Kategorien in der Musik. Entwurf einer mathematischen Musiktheorie, Berlin 1985. — Die Analogie zwischen der Gruppenstruktur in Tonhöhensystemen einerseits und in der Mensuralmusik andererseits ergibt sich aus deren akzentuierender Rhythmik: die Längenwerte (im Falle von Imperfektion und Alteration) kommen zustande, weil der Akzentfall bewahrt (also das Komplement gebildet) werden muss.

Anm. 1: Eine der häufigen Definitionen im mittelalterlichen Lehrbetrieb lautet dann, musica habe es zu tun mit dem numerus relatus ad sonos. Die Protoversion dieser Definition findet sich bei Cassiodor (Inst., 144 [= lib. II, V, 4] ed. Mynors): Musica scientia est disciplina, quae de numeris loquitur, qui ad aliquid sunt his qui inveniuntur in sonis, ut duplum, triplum, quadruplum, et his similia, quae dicuntur ad aliquid. Michael Walter (1992:170 n.8) übersetzt: „Die musica scientia ist die Disziplin, die über die Zahlen handelt, die auf etwas anderes (bezogen) sind, (und zwar von) den (Zahlen), die im Bereich der Töne (in sonis) erfunden werden; wie das Zweifache, Dreifache, Vierfache und diesen ähnliche (Proportionen), von denen gesagt wird, sie hätten (diese) Bedeutung.“

Anm. 2: Wiedergegeben nach: K. Jacobi (1995:515 n. 15).

Anm. 3: Eine ausführliche Übersicht über dieses Lehrbuch gibt R. Harmon (2006).

Anm. 4: Für die Tontheorie massgeblich wird De anima II,8. Zu diesem Kapitel existieren hunderte von Kommentaren. Man vergleiche eine Auswahl bei Michael Wittmann(1987). – Die aristotelische Umdeutung der Institutio musica wird dann mit der Musica speculativa von Johannes de Muris im 14. Jahrhundert etabliert.

Anm. 5: Die Berechnungen werden übersichtlich dargestellt von Barbara Münxelhaus (1976:114-116).

Anm. 6: Sicut vocis articulatae elementariae atque individuae partes sunt litterae, ex quibus compositae syllabae rursus componunt verba et nomina eaque perfectae orationis textum, sie canorae vocis ptongi, qui Latine dieuntur soni, origines sunt et totius musicae continentia in eorum ultimam resolutionem desinit. principales quidem partes sunt hae, quae a musicis appellantur systemata, Haec autem ipsa constant ex certo tractu pronuntiationis quae dieuntur diastemata, diastematum porro ipsorum partes sunt pthongi, qui a nobis uocantur soni; hi autem soni prima sunt fundamenta cantus. – Musica enchiriadis, c. 1 hg. von Hans Schmid (1981, 3.1-7). Die deutsche Version stammt von Klaus-Jürgen Sachs (1990:109-111). Sachs bietet eine gründliche Analyse des Textes und zeigt im Einzelnen die Abhängigkeit der Stelle vom Timaios-Kimmentar des Calcidius.

 

Anm. 7: Siehe Frieder Zaminer (1987). Man beachte die Materialien im Corpus grammaticorum latinorum .